Après des études en biochimie, immunologie (École Supérieure des Techniques de Biologie Appliquée) et biologie moléculaire (EPHE), puis en physiologie et neurobiologie à l’université Pierre et Marie Curie (Sorbonne université Paris VI), Giovanni Stevanin a soutenu une thèse de neurosciences dans cette université en 1998, primée par la Chancellerie des Universités de Paris en 1999. Ses travaux de thèse portaient sur la génétique des ataxies cérébelleuses au sein de l’unité INSERM U289 sur le site hospitalier de la Pitié-Salpêtrière à Paris.

Après un séjour post-doctoral à l’Institut de Génétique et Biologie Moléculaire et Cellulaire et à l’Hôpital Civil de Strasbourg en 1999 et 2000, il a été recruté comme Chargé de Recherche (CR1) à l’Inserm en septembre 2000, puis comme Directeur de Recherche (DR2) en 2006 dans le but d’étendre ses recherches à d’autres maladies neurologiques, les paraplégies spastiques et afin d'initier des approches fonctionnelles sur les gènes en cause, dont certaines avec des retombées en diagnostic génétique ou en essais précliniques.

Il a dirigé l'équipe de Neurogénétique de l'EPHE au sein de l'institut du Cerveau de 2011 à 2017.

Depuis le 1^er janvier 2019, il est co-chef de l'équipe "Neurogénétique fondamentale et translationnelle" à l'Institut du cerveau et dirigera l'équipe de Neurogénétique de l'INCIA à Bordeaux à partir de 2022.

Ses travaux ont été primés par l'Académie Nationale de Médecine en 2020 (prix Jansen).